функция, выражающаяся через данную функцию f (x) формулой:

, (1)

Если функция f (x) чётная, то её ф. п. равно

(2)

(косинус-преобразование), а если f (x) - нечётная функция, то

(3)

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

, (4)

а для нечётных функций

. (5)

В общем случае имеет место формула

. (6)

Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x). Например, Ф. п. f'(x) является iug (u). Если

, (7)

то g (u) = g₁(u) g₂(u). Для f (x + а) Ф. п. является e^iuag (u), а для c₁f₁(x) + c₂f₂ (x) - функция c₁g₁(u) + c₂g₂(u).

Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость), причём

(8)

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F: f (x) → g (u) является унитарным оператором (См. Унитарный оператор) в гильбертовом пространстве функций f (x), - ∞ < x < ∞, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде

. (9)

При некоторых условиях на f (x) справедлива формула Пуассона

,

находящая применение в теории тэта-функций (См. Тэта-функции).

Если функция f (x) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u = v + iw. Например, если существует , а > 0, то Ф. п. определено при |w| < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование)

.

Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x) таких, что (1 + |x|)^-1f (x) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (См. Обобщённые функции) (т. н. медленного роста).

Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции, это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп (См. Непрерывная группа). Другим является т. н. преобразование Фурье - Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции φ(x) Стилтьеса интегралом

(10)

и называется характеристической функцией распределения φ. Для представимости функции g (u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u₁,..., u_n, ξ₁,...,ξ_n было

(теорема Бохнера - Хинчина).

Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля), широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.

Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

один из подобия критериев (См. Подобия критерии) нестационарных тепловых процессов. Характеризует соотношение между скоростью изменения тепловых условий в окружающей среде и скоростью перестройки поля температуры внутри рассматриваемой системы (тела), который зависит от размеров тела и коэффициент его температуропроводности. Ф. ч. обозначают F₀ и определяют формулой Fo = at₀/l², где а = λ/ρc - коэффициент температуропроводности, λ - коэффициент теплопроводности (См. Теплопроводность), ρ - плотность, с - удельная теплоёмкость, l - характерный линейный размер тела, t₀ - характерное время изменения внешних условий. Поскольку критерии, устанавливающие связь между скоростями развития различных эффектов, называются критериями гомохронности, Ф. ч. является критерием гомохронности тепловых процессов. Для тепловых процессов, описываемых Теплопроводности уравнением, безразмерное распределение температуры в теле представляется в виде функции от безразмерных геометрических и тепловых критериев подобия, одним из которых является Ф. ч. Название по имени Ж. Фурье.

С. Л. Вишневецкий.

Тригонометрический ряд, служащий для разложения периодической функции на гармонические компоненты. Если функция f (x) имеет период 2T, то её Ф. р. имеет вид

,

где a₀, a_n, b_n (n ≥ 1) - Фурье коэффициенты. В зависимости от того, в каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят о рядах Фурье - Римана, Фурье - Лебега и т.д. Обычно рассматривают 2π-периодические функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).

Ф. р. представляют собой простейший класс разложений по ортогональной системе функций (См. Ортогональная система функций), а именно - по тригонометрической системе 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,..., которая обладает двумя важными свойствами: замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (суммы Фурье)

обращают в минимум интеграл

,

где t_n (x) - произвольный тригонометрический полином порядка ≤ n, а функция f (x) интегрируема с квадратом. При этом

,

так что функции f (x), имеющие интегрируемый квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование функций).

Для любой интегрируемой функции f (x) коэффициенты Фурье a_n, b_n при n → ∞ стремятся к нулю (Б. Риман, А. Лебег). Если же функция f (x) несобственно интегрируема по Риману, то коэффициенты Фурье могут и не стремиться к нулю (Риман). В случае, если квадрат функции f (x) интегрируем, то ряд сходится и имеет место равенство Парсеваля

.

Один из вариантов этой формулы был впервые указан французским математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для любой последовательности действительных чисел a_n, b_n со сходящимся рядом существует функция с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая эти числа своими коэффициентами Фурье (немецкий математик Э. Фишер, венгерский математик Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна.

Известно большое число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих сходимость ряда. Например, если функция f (x) имеет на периоде конечное число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле). Более общо, если f (x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции), то её Ф. р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем к отрезку, на котором f (x) непрерывна (К. Жордан). Если f (x) непрерывна и её модуль непрерывности ω(δ, f) удовлетворяет условию , то её Ф. р. равномерно сходится (итальянский математик У. Дини, 1880).

Проблема полного исследования условий сходимости Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в некоторой точке x₀ зависит от поведения функции f (x) лишь в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации для Ф. р.). Если в точке x₀ функция f (x) имеет разрыв первого рода, т. с. существуют различные пределы f (x₀ - 0) и f (x₀ + 0), и Ф. р. этой функции сходится в точке x₀, то он сходится к значению ¹/₂{f (x₀ - 0) + f (x₀ + 0)}. В частности, если Ф. р. непрерывной периодической функции f (x) сходится в каждой точке, то его сумма равна f (x).

Известно, что существуют непрерывные функции, Ф. р. которых расходятся в бесконечном числе точек (немецкий математик П. дю Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. которых расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Ф. р. всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон, 1966). Этот результат верен и для функций из любого пространства L^p (-π, π) с p < 1 (Р. Хант, 1968). Упомянутые "дефекты сходимости" породили методы суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье, исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение которых в ряде случаев оказывается значительно более правильным. Например, для любой непрерывной периодической функции f (x) сумма Фейера

при n → ∞ равномерно сходятся к f (x) (Л. Фейер, 1904).

Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965.

ФУРЬЕР'ИСТ, фурьериста, ·муж. (·ист. ). Последователь фурьеризма.

(Fourier, Franois Mari Charles) (1772-1837), французский социалист-утопист. Родился 7 апреля 1772 в Безансоне в семье торговца одеждой. В годы Великой французской революции участвовал в Лионском антиправительственном восстании. Его семейная собственность была конфискована, а самого Фурье посадили в тюрьму. Спустя некоторое время он был призван на военную службу. В 1799 стал коммивояжером. Во время одной из деловых поездок Фурье обратил внимание на то, что яблоко в парижском ресторане стоит в сто раз дороже, чем в Безансоне. Это стало моментом озарения - постижения сути "нового социетарного порядка". Фурье предпринимал неоднократные попытки заинтересовать своими концепциями официальных лиц, но поддержки так и не нашел.

В 1808 он опубликовал свой главный труд - Теорию четырех движений и всеобщих судеб (Thorie des quatre mouvements et des destines gnrales). Согласно Фурье, стержнем идеальной системы социальной организации является фаланга. Она заключает в себе идею всеобщего братства и основывается на соответствии частных и общих интересов. Фаланга строится на сельскохозяйственной основе, но предполагает взаимодействие с промышленным производством. В ней объединяются от 1700 до 2000 человек. При свободном проявлении способностей одна личность дополняется другой, что составляет основу счастья всех вместе и каждого в отдельности. Работа в фалангах привлекательна, поскольку труд соответствует способностям и наклонностям каждого индивидуума. Рабочие бригады создаются на основе взаимной любви. Каждая бригада в психологическом отношении представляет "серию". К другим "сериям" она относится как к конкурентам, но без враждебности, свойственной классовому обществу. Предполагалось, что члены фаланги могут менять занятия, удовлетворяя "инстинкты приятной изменчивости". В процессе разнообразных занятий человек может испытывать чувство любви, соперничества или причастности к "каббалистическому". Под последним понятием Фурье подразумевал "притяжение" к загадочному, таинственному. Все эти инстинкты, считал он, следует воспринимать как дар Божий и высвобождать, а не подавлять их, как это происходит в современном обществе, где они превращаются в разрушительные страсти.

На протяжении всей жизни Фурье пересматривал и уточнял свои идеи, вводя в "систему" новые термины и теории. Самые важные из его последних работ - Трактат о домоводческо-земледельческой ассоциации (Trait de l'association domestique agricole, 1822), Новый хозяйственный социетарный мир (Le nouveau monde industriel et societaire, 1829) и Ложная промышленность (La fausse industrie, 1835-1836).

Умер Фурье в Париже 10 октября 1837. На основе его идей сложилась "социетарная школа", приверженцем которой стал В.Консидеран. В середине 19 в. система Фурье, переработанная и уточненная, оказывала заметное влияние на мыслителей, устремленных к поиску нового социального идеала. Последователи Фурье провели социальный эксперимент в США на знаменитой Брук-Фарм в Роксбери (шт. Массачусетс).